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Mais, comme Sn ≤ a pour n ≤ τ, on peut aussi affirmer que E supn≤τ (Sn )− = +∞ (x− désignant la partie négative de x). On voit que dans cette stratégie, avant de gagner 1F, on doit être prêt à assumer une perte dont l’espérance est infinie. En particulier on doit être prêt à assumer une perte non bornée. 5 Théorème de convergence des martingales On cherche à voir sous quelles conditions une suite (Mn , n ≥ 1) converge lorsque n tends vers +∞. 1 Supposons que (Mn , n ≥ 0) soit une martingale par rapport à (Fn , n ≥ 0) et que de plus : sup E M2n < +∞.

1). nσ2θ + σ2e 6. Montrer que E[Z] = σ2e mθ nσ2θ + σ2e et VarZ = σ2θ σ2e . nσ2θ + σ2e ^ n = E [Θ | X] en fonction de la moyenne empirique X¯ n = 7. Exprimer Θ mesures. 3 Espérance conditionnelle 8. Montrer que l’erreur quadratique moyenne est E ^n Θ−Θ 2 σ2θ σ2e = . nσ2θ + σ2e Quel est l’intérêt de faire plusieurs mesures ? ^ n convergent presque sûrement quand n → ∞. Quelle est la limite. 9. Montrer que Xn et Θ On parle d’estimateurs convergents. √ √ ^ n −Θ). Comparer les erreurs quadratiques 10.

Donner la loi asymptotique de n(Xn − Θ) et de n(Θ dispose d’un grand nombre de mesures ? 5 Exercices Exercice 28 Soit (Bt )t≥0 un mouvement brownien et 0 < s ≤ t. 1. Calculer E(Bt |Bs ) et E(Bs |Bt ). 2. Déterminer E(B2t |Bs ) et E(eλBt |Bs ) où λ ∈ R Exercice 29 Soit A, B deux sous-ensembles mesurables de (Ω, A, P). Calculer : E [1A | 1B ] . Exercice 30 Soit (Z, Z1 , . . , Zn ) un vecteur centré de carré intégrable. 1. Montrer que si Z¯ = n λ0 Zi est tel que, pour tout i : i=1 i ¯ i = 0, E (Z − Z)Z alors Z¯ réalise le minimum de E (Z − n i=1 λi Zi )2 .

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A Bayesian Alternative to Parametric Hypothesis Testing by Rueda R.

by David

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