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By Professor Dr. Siegfried Bosch (auth.)

ISBN-10: 3540403884

ISBN-13: 9783540403883

ISBN-10: 3662056453

ISBN-13: 9783662056455

Eine verst?ndliche, konzise und immer fl?ssige Einf?hrung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgf?ltige didaktische Aufbereitung bei vielen Studenten Freunde findet. Die vorliegende ?berarbeitete Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit L?sungshinweisen) sowie einf?hrenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen. Auch selten im Lehrbuch behandelte Themen wie Resultanten, Diskriminanten, Kummer-Theorie und Witt-Vektoren werden angesprochen. Die ber?hmten Formeln aus dem sixteen. Jahrhundert zur Aufl?sung von Gleichungen dritten und vierten Grades werden ausf?hrlich erl?utert und in den Rahmen der Galois-Theorie eingeordnet.

Ein klares, modernes und inhaltsreiches Lehrbuch, das f?r jeden Algebrastudenten unentbehrlich ist.

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Eine verst? ndliche, konzise und immer fl? ssige Einf? hrung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgf? ltige didaktische Aufbereitung bei vielen Studenten Freunde findet. Die vorliegende ? berarbeitete Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit L? sungshinweisen) sowie einf? hrenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen.

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Umgekehrt ist unmittelbar klar, dass das Nullideal in einem Körper maximal ist. 0 42 2. Ringe und Polynome Die Sätze 6 und 8 geben eine vollständige Übersicht über Primideale und maximale Ideale in Z: Korollar 11. Ein Ideal in Z ist genau dann prim, wenn es von der Form pZ mit einer Primzahl p oder mit p = 0 ist. Ein Ideal in Z ist genau dann maximal, wenn es ein von Null verschiedenes Primideal ist. 2/3 Hauptidealring ist und dass das Nullideal in einem Integritätsring stets prim ist. Zum Schluss dieses Abschnitts wollen wir noch den so genannten Chinesischen Restsatz beweisen.

Man beweise die Existenz der so genannten g-adischen Entwicklung: Zu f E K [X] gibt es eindeutig bestimmte Polynome ao, ab ... i = 0 für fast alle i, mit f = Ei aigi . 5. Es sei R ein Ring, der ein nilpotentes Element a =I 0 enthalte; nilpotent bedeutet, dass es ein n E N mit an = 0 gibt. Man zeige, dass die Einheitengruppe R* eine echte Untergruppe der Einheitengruppe (R[X])* ist. 6. j2 enthält, und zeige, dass dieser bereits ein Körper ist. 7. ing. Man beweise, dass eine formale Potenzreihe Ea;Xi E R[X] genau dann eine Einheit ist, wenn ao eine Einheit in Rist.

Seien x = Xl ... Xr , Y = YI'" Ys Zerlegungen in irreduzible Elemente gemäß (i). Dann folgt a I (Xl ... XrYl ... 4 Primfaktorzerlegung 49 Xi oder einem Yj assoziiert ist. Daher gilt alx oder alY, und a ist Primelernent. Mit dieser Überlegung ist die Implikation von (i) nach (ii) unmittelbar klar. Die Umkehrung folgt mit Lemma 9, da eine Zerlegung in Primelemente nach Bemerkung 5 insbesondere eine Zerlegung in irreduzible Elemente ist. Wir haben gerade gesehen, dass unter der Bedingung (i) jedes irreduzible Element prim ist, dass also irreduzible Elemente in faktoriellen Ringen prim sind.

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Algebra by Professor Dr. Siegfried Bosch (auth.)


by Joseph
4.0

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