Algebra [Lecture notes] - download pdf or read online

By Christoph Schweigert

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Eine verst? ndliche, konzise und immer fl? ssige Einf? hrung in die Algebra, die insbesondere durch ihre sorgf? ltige didaktische Aufbereitung bei vielen Studenten Freunde findet. Die vorliegende ? berarbeitete Auflage bietet neben zahlreichen Aufgaben (mit L? sungshinweisen) sowie einf? hrenden und motivierenden Vorbemerkungen auch Ausblicke auf neuere Entwicklungen.

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Hat also G die Zerlegung G = Gtor × Zr , so ist dimQ Hom(G, Q) = r. 12. Insbesondere sind die endlich-erzeugten freien abelschen Gruppen Zm und Zn genau f¨ ur m = n isomorph. Das k¨onnte man nat¨ urlich auch anders sehen: ist ∼ ϕ : Zm → Z n ein Isomorphismus und p prim, so ist die Einschr¨ankung auf die Untergruppen ϕ : pZm → pZn auch ein Isomorphismus und man erh¨alt einen Isomorphismus ϕˉ : Zm /pZm ∼ = (Zp )m → (Zp )n . Der Vergleich der Anzahlen liefert mp = np, woraus m = n folgt. 13 (Eindeutigkeit der Zahl der zyklischen Faktoren).

Gi−1 /Gi−2 ∼ = Zp f¨ Damit hat aber auch die Kette der Urbilder die gew¨ unschten Eigenschaften. 2. (Doppelnebenklassen) 1. F¨ ur jede Untergruppe H ⊂ G und jedes g ∈ G ist die konjugierte Untergruppe H g := g −1 Hg eine Untergruppe gleicher Kardinalit¨at wie H. Die Menge NG (H) = {g ∈ G|gHg −1 = H} heißt Normalisator von H in G. Sie ist eine Untergruppe von G. Man hat folgende Inklusionen von Untergruppen: H ⊂ NG (H) ⊂ G . 57 Der Normalisator NG (H) ist die gr¨oßte Untergruppe von G, in der H eine normale Untergruppe ist.

Daraus folgt P τ ∩ NG (P ) ⊆ P τ ∩ P ; die umgekehrte Inklusion ist trivial, also gilt die Gleichheit P τ ∩ NG (P ) = P τ ∩ P f¨ ur alle τ ∈ V \ {e}. 3 anwenden: |P | |NG (P )| |G| = .

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Algebra [Lecture notes] by Christoph Schweigert


by Charles
4.3

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